已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，关于x的方程a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0有两个相等实根，且3c=a+3b（1）试判断△ABC的形状；（2）求sinA+sinB的值．
问题描述：
已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，关于x的方程a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0有两个相等实根，且3c=a+3b
（1）试判断△ABC的形状；
（2）求sinA+sinB的值．
答
（1）方程整理为（c-a）x2+2bx+a+c=0，根据题意得△=4b2-4（c-a）（a+c）=0，∴a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形；（2）∵a2+b2=c2，3c=a+3b∴（3c-3b）2+b2=c2，∴（4c-5b）（c-b）=0，∴4c=5b，即b=45c，∴a=3c-3b=3...
答案解析：（1）先把方程整理为一般式，再根据判别式的意义得到△=4b2-4（c-a）（a+c）=0，则a2+b2=c2，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形形状；
（2）由于a2+b2=c2，3c=a+3b，消去a得（3c-3b）2+b2=c2，变形为（4c-5b）（c-b）=0，则b=
c，a=4 5
c，根据正弦的定义得sinA=3 5
，sinB=a c
，所以sinA+sinB=b c
，然后把b=a+b c
c，a=4 5
c代入计算即可．3 5
考试点：根的判别式．
知识点：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了勾股定理的逆定理和锐角三角函数的定义．