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当x∈[π6，7π6]时，函数y=3-sinx-2cos2x的值域为 ___ ．

分类: 作业答案 • 2022-09-26 18:36:00
问题描述：

当x∈[

π
6
，
7π
6
]时，函数y=3-sinx-2cos2x的值域为 ___ ．

答

∵y=3-sinx-2cos2x
=2sin2x-sinx+1
=2(sinx-

1
4
)2+
7
8
，
∵x∈[
π
6
，
7π
6
]时，
∴-
1
2
≤sinx≤1，
∴当sinx=
1
4
时，ymin=
7
8
；
当sinx=-
1
2
时，ymax=2；
∴函数y=3-sinx-2cos2x的值域为[
7
8
，2]．
故答案为：[
7
8
，2]．
答案解析：利用同角三角函数间的关系与二次函数的配方法可求得y=2(sinx−14)2+78，x∈[π6，7π6]⇒-12≤sinx≤1，从而可求函数y=3-sinx-2cos2x的值域．
考试点：三角函数的最值．
知识点：本题考查复合函数的值域，着重考查二次函数的配方法与正弦函数的单调性与值域，属于中档题．

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