已知等比数列{an}的通项公式为an=3n-1，设数列{bn}满足对任意自然数n都有b1a1+b2a2+b3a3+┅+bnan=2n+1恒成立．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）求b1+b2+b3+┅+b2011的值．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 14:58:57

问题描述：

已知等比数列{a_n}的通项公式为a_n=3^n-1，设数列{b_n}满足对任意自然数n都有

+┅+

=2n+1恒成立．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求b₁+b₂+b₃+┅+b₂₀₁₁的值．

答

（1）∵对任意正整数n，有

+┅+

=2n+1，①
∴当n≥2时，

+┅+

bn−1

an−1

=2n-1，②…（4分）
①-②得

＝2；故 b_n=2a_n=2×3^n-1（n≥2）． …（7分）
当n=1时，

＝3，
又a₁=1，∴b₁=3．
∴bn＝

3，(n＝1)

2×3n−1，(n≥2)

． …（10分）
（2）b₁+b₂+b₃+┅+b₂₀₁₁=3+（2×3+2×3²+…+2×3²⁰¹⁰）=3+3（3²⁰¹⁰-1）=3²⁰¹¹．…（15分）
答案解析：（1）把已知条件中的n换成n-1得到②，相减可得

＝2，再由a_n=3^n-1求出数列{b_n}的通项公式．
（2）要求的式子即 3+（2×3+2×3²+…+2×3²⁰¹⁰，利用等比数列的前n项和公式，求出要求式子的值．
考试点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．

知识点：本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，求得

＝2，是解题的关键，属于中档题．

已知等比数列{an}的通项公式为an=3n-1，设数列{bn}满足对任意自然数n都有b1a1+b2a2+b3a3+┅+bnan=2n+1恒成立．（1）求数列{bn}的通项公式； （2）求b1+b2+b3+┅+b2011的值．