已知,如图:在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为A(10,0)、C(0,4),点D是OA的中点,点P在BC边上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐

问题描述:

已知,如图:在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为A(10,0)、C(0,4),点D是OA的中点,点P在BC边上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为______.

(1)OD是等腰三角形的底边时,P就是OD的垂直平分线与CB的交点,此时OP=PD≠5;
(2)OD是等腰三角形的一条腰时:
①若点O是顶角顶点时,P点就是以点O为圆心,以5为半径的弧与CB的交点,
在直角△OPC中,CP=

OP2-OC2
=
52-42
=3,则P的坐标是(3,4).
②若D是顶角顶点时,P点就是以点D为圆心,以5为半径的弧与CB的交点,
过D作DM⊥BC于点M,
在直角△PDM中,PM=
PD2-DM2
=3,
当P在M的左边时,CP=5-3=2,则P的坐标是(2,4);
当P在M的右侧时,CP=5+3=8,则P的坐标是(8,4).
故P的坐标为:(3,4)或(2,4)或(8,4).
故答案为:(3,4)或(2,4)或(8,4).