如图,将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,使点B落到点B′的位置,AB′与CD交于点E.(1)试找出一个与△AED全等的三角形,并加以证明;(2)若AB=8,DE=3,P为线段AC上的任意一点,PG⊥AE于G,PH⊥EC于H,试求PG+PH的值,并说明理由.

问题描述:

如图,将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,使点B落到点B′的位置,AB′与CD交于点E.
(1)试找出一个与△AED全等的三角形,并加以证明;
(2)若AB=8,DE=3,P为线段AC上的任意一点,PG⊥AE于G,PH⊥EC于H,试求PG+PH的值,并说明理由.

延长HP交AB于M,
由折叠的性质可知,∠EAC=∠CAB,
∵CD∥AB,
∴∠CAB=∠ECA,
∴∠EAC=∠ECA,
∴AE=EC=8-3=5.
在△ADE中,AD=4,
∵延长HP交AB于M,则PM⊥AB,
∴PG=PM.
∴PG+PH=PM+PH=HM=AD=4.

(1)∵ ∠ADE=∠CB′E=90° ,∠AED=∠CEB′ ,AD=BC=CB′ ,
∴ Rt△CEB′ ≌ Rt△AED 。
(2)
∵ AB=8,DE=3,
∴ CE=8-3=5 ,
∵ Rt△CEB′ ≌ Rt△AED
∴ AE=CE=5 ,
∵ Rt△AED 中 ,AE=5 ,DE=3 ,
∴ AD=4 ;
延长HP交AB于M ,
∵ 矩形ABCD ,
∴ PM⊥AB ,MH=AD=4 ,
∵ ∠AGP=∠AMP=90° ,∠PAG=∠PAM ,AP=AP ,
∴ Rt△AGP ≌ Rt△AMP ,
∴PG=PM .
∴PG+PH=PM+PH=MH=AD=4 。

(1)△AED≌△CEB′
证明:∵四边形ABCD为矩形,
∴B′C=BC=AD,∠B′=∠B=∠D=90°,
又∵∠B′EC=∠DEA,
∴△AED≌△CEB′;



(2)由折叠的性质可知,∠EAC=∠CAB,
∵CD∥AB,
∴∠CAB=∠ECA,
∴∠EAC=∠ECA,
∴AE=EC=8-3=5.
在△ADE中,AD=4,
延长HP交AB于M,则PM⊥AB,
∴PG=PM.
∴PG+PH=PM+PH=HM=AD=4.

(1)、△AED≌△CEB'
证明:∵△ABC翻折得△AB'C
∴B'C=BC=AD ∠B'=∠B=∠D=90°
在△AED和△CEB'中
∵∠D=∠B'
∠AED=∠CEB'
AD=B'C
∴△AED≌△CEB' (AAS)
∴AE=CE
(2)、连接PE
S△AEC=S△AEP+S△CEP
∴1/2AE﹡B'C=1/2AE﹡PG+1/2CE﹡PH
AE﹡B'C=AE﹡PG+CE﹡PH
B'C=PG+PH
∴PG+PH=BC=32÷8=4

(1)
∵ ∠ADE=∠CB′E=90° ,∠AED=∠CEB′ ,AD=BC=CB′ ,
∴ Rt△CEB′ ≌ Rt△AED .
(2)
∵ AB=8,DE=3,
∴ CE=8-3=5 ,
∵ Rt△CEB′ ≌ Rt△AED
∴ AE=CE=5 ,
∵ Rt△AED 中 ,AE=5 ,DE=3 ,
∴ AD=4 ;
延长HP交AB于M ,
∵ 矩形ABCD ,
∴ PM⊥AB ,MH=AD=4 ,
∵ ∠AGP=∠AMP=90° ,∠PAG=∠PAM ,AP=AP ,
∴ Rt△AGP ≌ Rt△AMP ,
∴PG=PM .
∴PG+PH=PM+PH=MH=AD=4 .