已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为___．
问题描述：
已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为___．
答
如图所示，
设椭圆的左焦点为F′，
∵以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，
∴切点E为PF的中点，OP=OF=OF′，
∴FP⊥F′P．
设|PF|=n，|PF′|=m，
则m+n=2a，m2+n2=4c2，b=
．m 2
∴n=2a-2b．
∴4b2+（2a-2b）2=4c2，又c2=a2-b2，
化为3b=2a．
∴该椭圆的离心率=
=
1-(
)2
b a
=
1-
4 9
．
5
3
故答案为：
．
5
3
答案解析：如图所示，设椭圆的左焦点为F′，由于以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，切点E为PF的中点，可得OP=OF=OF′，FP⊥F′P．设|PF|=n，|PF′|=m，可得m+n=2a，m2+n2=4c2，b=
．又c2=a2-b2，可得该椭圆的离心率=m 2
．
1-(
)2
b a
考试点：椭圆的简单性质
知识点：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的切线的性质、三角形的中位线定理、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．