如图，PA、PB、PC两两垂直，PA=PB=PC，G是△PAB的重心，E是BC上的一点，且BE=13BC，F是PB上的一点，且PF=13PB．求证：（1）GF⊥平面PBC；（2）FE⊥BC；

分类: 作业答案 • 2022-08-14 15:35:15

问题描述：

如图，PA、PB、PC两两垂直，PA=PB=PC，G是△PAB的重心，E是BC上的一点，且BE=

BC，F是PB上的一点，且PF=

PB．
求证：

（1）GF⊥平面PBC；
（2）FE⊥BC；

答

证明：（1）连接BG和PG，并延长分别交PA、AB于M和D，在△PBM中，
∵PF=

PB，G是△PAB的重心，（4分）
∴MG=

BM，∴GF∥PM．又PA⊥PB，PA⊥PC，
∴PA⊥平面PBC，则GF⊥平面PBC．（7分）
（2）在EC上取一点Q使CQ=

BC，（9分）
连接FQ，又PF=

PB，
∴FQ∥PC．
∵PB=PC，
∴FB=FQ．（12分）
∵BE=

BC，
∴E是BQ的中点，
∴FE⊥BQ，即FE⊥BC．（14分）
答案解析：（1）要证明GF⊥平面PBC，只需证明PA⊥PB，PA⊥PC，推出PA⊥平面PBC，则GF⊥平面PBC；
（2）在EC上取一点Q使CQ=

BC，连接FQ，要证明FE⊥BC，只需证明FE⊥BQ即可；
考试点：直线与平面平行的判定．
知识点：本题考查直线与平面平行的判定，直线与直线垂直，考查逻辑思维能力，空间想象能力，是中档题．