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如图，PA、PB、PC两两垂直，PA=PB=PC，G是△PAB的重心，E是BC上的一点，且BE=1/3BC，F是PB上的一点，且PF=1/3PB．求证：（1）GF⊥平面PBC；（2）FE⊥BC；

分类: 作业答案 • 2022-06-04 08:26:10

问题描述：

如图，PA、PB、PC两两垂直，PA=PB=PC，G是△PAB的重心，E是BC上的一点，且BE=

1

3

BC，F是PB上的一点，且PF=

1

3

PB．
求证：

（1）GF⊥平面PBC；
（2）FE⊥BC；

答

证明：（1）连接BG和PG，并延长分别交PA、AB于M和D，在△PBM中，
∵PF=

1

3

PB，G是△PAB的重心，（4分）
∴MG=

1

3

BM，∴GF∥PM．又PA⊥PB，PA⊥PC，
∴PA⊥平面PBC，则GF⊥平面PBC．（7分）
（2）在EC上取一点Q使CQ=

1

3

BC，（9分）
连接FQ，又PF=

1

3

PB，
∴FQ∥PC．
∵PB=PC，
∴FB=FQ．（12分）
∵BE=

1

3

BC，
∴E是BQ的中点，
∴FE⊥BQ，即FE⊥BC．（14分）