空间四边形ABCD中 AB BC CD的中点分别为PQR且AC=4 BD=2倍根号5 PR=3 求AC和BD所成角 最好能画出图
问题描述：
空间四边形ABCD中 AB BC CD的中点分别为PQR且AC=4 BD=2倍根号5 PR=3 求AC和BD所成角 最好能画出图
答
过点B作BE‖AC连结EC,ED,EA
则在平行四边形EBCA中EB=AC=4
P也是EC的中点
又因为R是DC的中点
所以ED=2PR=6
根据余弦定理，在△EBD中cosB=（BE^2+BD^2-ED^2)/(2*BD*BE)=0
故角EBD=90°所以异面直线AC，BD所成角为90°
（也可直接看出BD^2+BE^2=ED^2)
答
令AD的中点为E.
∵P、E、Q分别是AB、AD、CD的中点,
∴由三角形中位线定理,有：PE∥BD、EQ∥AC,且PE＝BD/2＝√5、EQ＝AC/2＝2.
由PE＝√5、EQ＝2、PQ＝3,得：PE^2＋EQ^2＝PQ^2,∴由勾股定理的逆定理,有：∠PEQ＝90°.
由PE∥BD、EQ∥AC,得：∠PEQ＝AC与BD所成的角,∴AC与BD所成角的大小为90°.