设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．
问题描述：
设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．
答
知识点：本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．
证明：如图因为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（
，0），p 2
所以经过点F的直线的方程可设为x=my+
；p 2
代入抛物线方程得y2-2pmy-p2=0，
若记A（x1，y1），B（x2，y2），则y1，y2是该方程的两个根，
所以y1y2=-p2．
因为BC∥x轴，且点c在准线x=-
上，p 2
所以点c的坐标为（-
，y2），p 2
故直线CO的斜率为k=
=y2 -
p 2
=2p y1
．y1 x1
即k也是直线OA的斜率，
当直线AB的斜率不存在时，结论亦成立．
所以直线AC经过原点O．
答案解析：先求出抛物线的焦点坐标，然后得到经过点F的直线的方程后代入到抛物线中消去x得到关于y的一元二次方程，进而得到两根之积，根据BC∥x轴与点c在准线上可求得c的坐标，进而可表示出直线CO的斜率，同时可得到k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．
得证．
考试点：抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．
知识点：本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．