在△ABC中,cosB=−513,cosC=45,AB=13,求BC.

问题描述:

在△ABC中,cosB=−

5
13
cosC=
4
5
,AB=13,求BC.

∵cosB=-

5
13
<0,
∴B为钝角,A,C为锐角,
∴sinB=
1−cos2B
=
12
13

∵cosC=
4
5

∴sinC=
1−cos2C
=
3
5

∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=
33
65

∵AB=13,由正弦定理得
BC
sinA
=
AB
sinC

∴BC=
ABsinA
sinC
=13×
33
65
×
5
3
=11.
答案解析:由cosB的值为负值,得到B为钝角,A、C为锐角,由cosB与cosC的值,利用同角三角函数间的基本关系求出sinB与sinC的值,由三角形的内角和定理及诱导公式得到sinA=sin(B+C),利用两角和与差的正弦函数公式化简,将各自的值代入求出sinA、sinC的值,再由AB的长,利用正弦定理即可求出BC的长.
考试点:两角和与差的正弦函数;同角三角函数间的基本关系;正弦定理.
知识点:此题考查了两角和与差的正弦函数公式,正弦定理,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握公式及定理是解本题的关键.