设x,y,z∈R,2x+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2之最小值为 ___ .

问题描述:

设x,y,z∈R,2x+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2之最小值为 ___ .

由柯西不等式可得:[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2](22+22+12)≥[2(x-1)+2(y+2)+1•(z-3)]2=(2x+2y+z-1)2=(-8-1)2
化为(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥9,当且仅当

x-1
2
=
y+2
2
=
z-3
1
,且2x+2y+z+8=0,即x=-1,y=-4,z=2时取等号.
故(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2之最小值为9.
故答案为9.
答案解析:利用柯西不等式即可得出.
考试点:柯西不等式在函数极值中的应用.
知识点:本题考查了柯西不等式的应用,属于基础题.