设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且图象关于直线x=-1对称；②当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立．（1）求f（1）的值；（2）求函数f（x）的解析式；（3）若f（x）在区间[m-1，m]上恒有|f（x）-x|≤1，求实数m的取值范围．
问题描述：
设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：
①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且图象关于直线x=-1对称；
②当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立．
（1）求f（1）的值；
（2）求函数f（x）的解析式；
（3）若f（x）在区间[m-1，m]上恒有|f（x）-x|≤1，求实数m的取值范围．
答
（1）∵当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立∴1≤f（1）≤1∴f（1）=1；（2）∵当x∈R时，f（x）的最小值为0，且图象关于直线x=-1对称；∴−b2a＝−1，f（-1）=a-b+c=0又∵f（1）=a+b+c=1∴a＝14，b＝12，c...
答案解析：（1）由“当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立”得到当x=1时，也成立，所以有1≤f（1）≤1，
从而得到f（1）；
（2）由“当x∈R时，f（x）的最小值为0，且图象关于直线x=-1对称”，可知对称轴及在对称轴处取得最值，创造两个条件，再由f（1）=1，可求得二次函数的解析式．
（3）根据第二问可设：g（x）=f（x）-x=
(x−1)2，由“|f（x）-x|≤1”可得x∈[-1，3]，从而求得结论．1 4
考试点：二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题．
知识点：本题主要考查二次函数求解析式，里面有三个未知数所以要寻求三个条件来解，同时还考查了用二次函数构造新函数来研究恒成立问题，二次函数渗透性强，应用范围广，图象和性质要灵活掌握．