正四棱锥S-ABCD内接于一个半径为R的球，那么这个正四棱锥体积的最大值为______．
问题描述：
正四棱锥S-ABCD内接于一个半径为R的球，那么这个正四棱锥体积的最大值为______．
答
设正四棱锥S-ABCD的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x
则：x2+(
a) 2＝R 2
2
2
而正四棱锥的高为h=R+x
故正四棱锥体积为：
V（x）=
×a2h=1 3
×a2(R+x)=1 3
(R 2−x 2)(R+x)2 3
其中x∈（0，R）
∵
(R 2−x 2)(R+x) ＝2 3
(2R−2x)(R+x)(R+x)≤1 3
×(1 3
) 3=(2R−2x)+(R+x)+(R+x) 3
R364 81
当且仅当x=
R时，等号成立1 3
那么这个正四棱锥体积的最大值为：
R364 81
故答案为：
R364 81
答案解析：先设正四棱锥S-ABCD的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x，得到x与a，R之间的关系，又正四棱锥的高为h=R+x
从而得出正四棱锥体积关于x函数表达式，最后利用基本不等式求出这个正四棱锥体积的最大值即可．
考试点：球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．
知识点：本题主要考查了球内接多面体、棱柱、棱锥、棱台的体积等基本知识，考查了空间想象力，属于中档题．