已知数列{an}的通项公式为an=2×3n+23n−1（n∈N∗）．（1）求数列{an}的最大项；（2）设bn=an+pan−2，求实常数p，使得{bn}为等比数列；（3）设m，n，p∈N*，m＜n＜p，问：数列{an}中是否存在三项am，an，ap，使数列am，an，ap是等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由．
问题描述：
已知数列{an}的通项公式为an=
（n∈N∗）．2×3n+2
3n−1
（1）求数列{an}的最大项；
（2）设bn=
，求实常数p，使得{bn}为等比数列；
an+p
an−2
（3）设m，n，p∈N*，m＜n＜p，问：数列{an}中是否存在三项am，an，ap，使数列am，an，ap是等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由．
答
（1）由题意可得 an=2×3n+23n−1=2+43n−1，随着n的增大而减小，所以{an}中的最大项为a1=4．（2）bn=an+pan−2=2+43n−1+p43n−1=(2+p)(3n−1)+44=(2+p)3 n+(2−p)4，若{bn}为等比数列，∴b2n+1-bnbn+2=0（n∈...
答案解析：（1）首先对数列{an}的通项公式进行变形，由 an=
，分析an随n的变化规律再结合n∈N*即可获得问题的解答．2×3n+2
3n−1
（2）结合条件充分利用等比数列的性质：等比中项即可获得含参数的方程，解方程即可获得参数的值，最后要注意
参数的验证．
（3）若存在三项am，an，ap，使数列am，an，ap是等差数列，则2an=am+ap，化简得3n（2×3p-n-3p-m-1）
=1+3p-m-2×3n-m（*），由条件可得（*）式不可能成立，故数列{an}中不存在三项am，an，ap，使数列am，an，ap是
等差数列．
考试点：等比数列的性质；等差关系的确定；等比关系的确定．
知识点：本题考查的是数列与不等式的综合问题．在解答的过程当中充分体现了数列与函数的思想、数学归难的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会和反思．