证明:1+xln(x+根号(1+x^2))>根号(1+x^2)

令f(x)=1+xln(x+√1+x^2)-√1+x^2
则f'(x)=1+arshx
ln(x+√1+x^2)=arshx，(arshx)'=1/√1+x^2
(arshx)'=1/√1+x^2>0是在R上的增函数且arsh(0)=0,所以x在R+上时恒有f'(x)=1+arshx>0
故f(x)=1+xln(x+√1+x^2)-√1+x^2在R+上是增函数
x=0时f（x）=0临界状态，（你那个范围应该是x＞0的吧）
因为f（x）增函数，所以在R+上f（x）恒大于0
1+xln(x+√1+x^2)-√1+x^2＞0
所以
1+xln(x+√1+x^2）＞√1+x^2
我刚读完高一啊，乱七八糟弄了一通真是够呛。

定义f(x)=1+xln(x+√1+x^2)-√1+x^2
则f'(x)=1+arshx
注意ln(x+√1+x^2)=arshx以及(arshx)'=1/√1+x^2
考虑到(arshx)'=1/√1+x^2>0是在R上的增函数且arsh(0)=0,所以x在R+上时恒有f'(x)=1+arshx>0
故f(x)=1+xln(x+√1+x^2)-√1+x^2在R+上是增函数
f(x)>f(0)=0
即在R+上恒有1+xln(x+根号(1+x^2))>根号(1+x^2)