如图，设点P是边长为a的正三角形ABC的边BC上一点，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，延长QP交AC的延长线于点R．当点P在何处时，△BPQ与△CPR的面积之和取最大（小）值？并求出最大（小）值．
问题描述：
如图，设点P是边长为a的正三角形ABC的边BC上一点，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，延长QP交AC的延长线于点R．当点P在何处时，△BPQ与△CPR的面积之和取最大（小）值？并求出最大（小）值．
答
在Rt△BPQ中，设PB=x，由∠B=60°，得：
BQ=
，PQ=x 2
，从而有PC=CR=a-x，
3
2
∴△BPQ与△CPR的面积之和为：
S=
x2+
3
8
（a-x）2=
3
4
（x-3
3
8
a）2+2 3
a2，
3
12
∵0≤x≤a，
∴当x=0时，S取最大值
a2，
3
4
当x=
a时，S取最小值2 3
a2．
3
12
答案解析：首先设PB=x，由∠B=60°，得：BQ=
，PQ=x 2
，从而有PC=CR=a-x，进而表示出S=
3
2
x2+
3
8
（a-x）2，进而利用二次函数最值求法得出即可．
3
4
考试点：二次函数的最值．
知识点：此题主要考查了二次函数最值求法和三角形面积求法，表示出S与x的函数关系是解题关键．