(2006•安徽)如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则(  )A. △A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B. △A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C. △A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形D. △A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形

问题描述:

(2006•安徽)如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则(  )
A. △A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
B. △A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
C. △A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形
D. △A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形

因为△A2B2C2的三个内角的正弦值均大于0,
所以△A1B1C1的三个内角的余弦值也均大于0,则△A1B1C1是锐角三角形.
若△A2B2C2是锐角三角形,由

sinA2=cosA1=sin(
π
2
A1)
sinB2=cosB1=sin(
π
2
B1)
sinC2=cosC1=sin(
π
2
C1)

A2
π
2
A1
B2
π
2
B1
C2
π
2
C1

那么,A2+B2+C2
π
2
,这与三角形内角和是π相矛盾;
若△A2B2C2是直角三角形,不妨设A2=
π
2

则sinA2=1=cosA1,所以A1在(0,π)范围内无值.
所以△A2B2C2是钝角三角形.
故选D.
答案解析:首先根据正弦、余弦在(0,π)内的符号特征,确定△A1B1C1是锐角三角形;
然后假设△A2B2C2是锐角三角形,则由cosα=sin(
π
2
−α
)推导出矛盾;
再假设△A2B2C2是直角三角形,易于推出矛盾;
最后得出△A2B2C2是钝角三角形的结论.
考试点:诱导公式的作用.
知识点:本题主要考查正余弦函数在各象限的符号特征及诱导公式,同时考查反证法思想.