等腰梯形中位线长15cm,一个底角为60°,且一条对角线平分这个角,则这个等腰梯形周长是______cm.

问题描述:

等腰梯形中位线长15cm,一个底角为60°,且一条对角线平分这个角,则这个等腰梯形周长是______cm.

如图,等腰梯形ABCD,中位线EF=15cm,∠B=60°,BD平分∠B,求等腰梯形的周长.
法一:过点D作DG∥AB交BC于点G
∵∠B=60°,BD平分∠B
∴∠ABD=∠ADB=30°
∴AD=AB=DC
∵AD∥BC,AB∥DG
∴AD=BG,△DGC为等边三角形
∴CG=CD
∴BC=2AD
∵EF=15cm
∴AD+BC=3AD=30cm
∴AD=10cm,BC=20cm
∴等腰梯形的周长=10+10+20+10=50cm;
法二:∵∠C=∠ABC=60°,BD平分∠ABC,
∴∠DBC=30°,
∴∠BDC=180°-30°-60°=90°,
∴Rt△BCD中,DC=

1
2
BC,
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC,
∵∠ABD=∠DBC,
∴AB=AD,
即AD=AB=DC,
∵BC=2DC=2AD,
∴AD+2AD=30,
即AD=10cm,
∴等腰梯形的周长=10+10+10+20=50cm.
答案解析:过点D作DG∥AB交BC于点G,得到一个菱形和一个等边三角形,由已知可推出下底是上底的二倍,根据梯形中位线定理可求得上,下底的长,从而不难求得其周长.
考试点:梯形中位线定理;等腰梯形的性质.
知识点:此题主要考查等腰梯形的性质及梯形中位线定理的运用,注意梯形中常见的辅助线:平移一腰.