设A,B,C三个事件两两独立,则A,B,C相互独立的充分必要条件是( )A. A与BC独立B. AB与A∪C独立C. AB与AC独立D. A∪B与A∪C独立
设A,B,C三个事件两两独立,则A,B,C相互独立的充分必要条件是( )
A. A与BC独立
B. AB与A∪C独立
C. AB与AC独立
D. A∪B与A∪C独立
A、B、C事件相互独立等价于:
P(ABC)=p(A)P(BC)=p(B)P(AC)=P(C)P(AB)=P(A)P(B)P(C); (1)
A、B、C事件两两独立等价于:
P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C); (2)
必要性:证明A、B、C事件相互独立可以推出两两独立,即证明(1)⇒(2).
因为:A、B、C事件相互独立:
所以有:P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C);
故必要性成立.
充分性:证明A、B、C事件两两独立可以推出两两独立,即证明(2)⇒(1).
因为:A、B、C事件两两独立:
所以:P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C);
而:A、B、C三事件相互独立需要满足:P(ABC)=p(A)P(BC)=p(B)P(AC)=P(C)P(AB)=P(A)P(B)P(C);
因此需要增加一条件使得P(ABC)=P(A)P(B)P(C);
A选项:A与BC独立:即P(A(BC))=P(A)P(BC),
又由于P(BC)=P(B)P(C),
所以:P(A(BC))=P(A)P(BC)=P(A)P(B)P(C);
故当A与BC独立时,充分性成立.
其它三个选项都无法推出P(ABC)=P(A)P(B)P(C);
故选:A.
答案解析:本题要确理解事件独立性的概率以及性质,两事件独立:P(AB)=P(A)P(B).对于该题,可采用排除法进行选择.
考试点:相互独立事件的性质;相互独立事件的概念.
知识点:本题主要考察相互独立事件的概念以及性质,要正确区分三个事件独立与两两独立的区别.