一道函数数学题,已知函数f(x)=2sinxcosx+cos2x,设α∈(0,π),f(α/2)=√2/2,求sinα的值.
问题描述：
一道函数数学题,
已知函数f(x)=2sinxcosx+cos2x,设α∈(0,π),f(α/2)=√2/2,求sinα的值.
答
f(x)=2sinxcosx+cos2x
=sin2x+cos2x
f(α/2)=sinα+cosα=√2/2
(sina)^2+(cosa)^2=1
cosa=)=√2/2-sina代入(sina)^2+(cosa)^2=1
整理得
4(sina)^2-√2/2sina-1=0
sina=(√2-2)/4
sina=(√2+2)/4
答
f(x)=sin2x+cos2x
f(a/2)=sina+cosa=√2/2
√2/2*sina+√2/2*cosa=1/2
sin(a+π/4)=1/2
因为α∈(0,π),
∴a+π/4=π/2
a=π/4
sina=√2/2
答
f(x)=sin2x+cos2x=√2sin(2x+45°).
所以,f(α/2)=√2/2说明√2/2=√2sin(α+45°)
即sin(α+45°)=1/2
而α∈(0,π)说明α+45°∈(45°,225°),所以只可能cos(α+45°)=-√3/2
sinα=sin(α+45°)cos45°-cos(α+45°)sin45°=(1/2+√3/2)/√2=(√6+√2)/4