我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质：重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2﹕1．请你用此性质解决下面的问题．已知：如图，点O为等腰直角三角形ABC的重心，∠CAB=90°，直线m过点O，过A、B、C三点分别作直线m的垂线，垂足分别为点D、E、F．（1）当直线m与BC平行时（如图1），请你猜想线段BE、CF和AD三者之间的数量关系并证明；（2）当直线m绕点O旋转到与BC不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AD、BE、CF三者之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明．
问题描述：
我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质：重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2﹕1．请你用此性质解决下面的问题．
已知：如图，点O为等腰直角三角形ABC的重心，∠CAB=90°，直线m过点O，过A、B、C三点分别作直线m的垂线，垂足分别为点D、E、F．
（1）当直线m与BC平行时（如图1），请你猜想线段BE、CF和AD三者之间的数量关系并证明；
（2）当直线m绕点O旋转到与BC不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AD、BE、CF三者之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明．
答
知识点：本题主要考查三角形相似的判定及性质，涉及到中位线定理、重心的性质、矩形的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）猜想：BE+CF=AD（1分）证明：如图，延长AO交BC于M点，∵点O为等腰直角三角形ABC的重心∴AO=2OM且AM⊥BC又∵EF∥BC∴AM⊥EF∵BE⊥EF，CF⊥EF∴EB∥OM∥CF∴EB=OM=CF∴EB+CF=2OM=AD．（3分）（2）图2结论：BE+CF=...
答案解析：（1）延长AO交BC于M点，由O为等腰直角三角形ABC的重心可得AO=2MO；再通过证明BCFE为矩形，可得BE=MO=CF，即可得AD=EB+CF；
（2）连接AO并延长交BC于点G，过G做GH⊥EF于H，由重心可得AO=2MO；再通过证明△AOD∽△GOH得AD=2HG；然后证得H为EF的中点，据中位线定理HG=
（EB+CF），即可得AD=EB+CF；1 2
（3）图3不成立，CF-BE=AD．
考试点：相似三角形的判定与性质；三角形的重心；三角形中位线定理；矩形的性质．
知识点：本题主要考查三角形相似的判定及性质，涉及到中位线定理、重心的性质、矩形的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．