已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c为常数）满足条件：①图象过原点；②f（1+x）=f（1-x）；③方程f（x）=x有两个相等的实根．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在x∈[-1，2]的值域．
问题描述：
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c为常数）满足条件：①图象过原点；②f（1+x）=f（1-x）；③方程f（x）=x有两个相等的实根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在x∈[-1，2]的值域．
答
（1）由①图象过原点可得f（0）=c=0，
由②f（1+x）=f（1-x）可得函数的对称轴为x=−
=1b 2a
由③方程f（x）=x有两个相等的实根可得ax2+bx+c=x，
即ax2+（b-1）x+c=0有两个相等的实根，
故△=（b-1）2-4ac=0，
联立方程组可解得a=−
，b=1，1 2
故f（x）的解析式为：f（x）=−
x2+x；1 2
（2）由（1）知f（x）=−
x2+x=−1 2
(x−1)2+1 2
，1 2
由二次函数的性质可知函数在[-1，1]单调递增，在[1，2]单调递减，
故当x=1时，函数取最大值f（1）=
，1 2
当x=-1时，函数取最大值f（-1）=−
，3 2
故f（x）在x∈[-1，2]的值域为[−
，3 2
]1 2
答案解析：（1）由①可得c=0，由②−b2a=1，由③可得（b-1）2-4ac=0，联立方程组可得a、b、c的值，可得结论；（2）可得函数在[-1，1]单调递增，在[1，2]单调递减，由二次函数的性质可得值域．
考试点：二次函数的性质．
知识点：本题考查二次函数的性质，涉及二次函数区间的最值的求解，属基础题．