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已知a，b，c∈R+，a+b+c=1，求证：1a+1b+1c≥9．

分类: 作业答案 • 2022-07-28 23:57:55
问题描述：

已知a，b，c∈R+，a+b+c=1，求证：

1
a
+
1
b
+
1
c
≥9．

答

证明：由题意知

1
a
+
1
b
+
1
c
=
a+b+c
a
+
a+b+c
b
+
a+b+c
c

=3+（
b
a
+
a
b
）+（
c
a
+
a
c
）+（
b
c
+
c
b
）
∴
b
a
+
a
b
≥2，
c
a
+
a
c
≥2，
b
c
+
c
b
≥2．
当且仅当a=b=c时，取等号，
∴
1
a
+
1
b
+
1
c
≥9．
答案解析：根据条件可化为
1
a
+
1
b
+
1
c
=
a+b+c
a
+
a+b+c
b
+
a+b+c
c
，应用基本不等式即可证得结论．
考试点：基本不等式．

知识点：本题考查基本不等式，难点在于对条件的合理转化即
1
a
+
1
b
+
1
c
=
a+b+c
a
+
a+b+c
b
+
a+b+c
c
的转化，属于中档题．

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