已知过点A(0,1),B(4,a)且与x轴相切的圆只有一个,求a的值及所对应的圆的方程.

问题描述:

已知过点A(0,1),B(4,a)且与x轴相切的圆只有一个,求a的值及所对应的圆的方程.

分两种情况考虑:
(i)设圆心坐标为(x,y),当B点为切点时,B在x轴上,所以a=0.则B(4,0),所以AB的中点坐标为(2,

1
2
),直线AB的斜率为
1−0
0−4
=-
1
4
,则AB中垂线的斜率为4,所以AB中垂线的方程为y-
1
2
=4(x-2)与x=4联立解得x=4,y=
17
2
,所以圆的方程为:(x-4)2+(y−
17
2
)
2
=(
17
2
)
2

(ii)当a=1时,AB与x轴平行,则AB的中垂线方程为x=2,设圆心坐标为(2,y),根据勾股定理得:y2=22+(y-1)2,解得y=
5
2
,所以圆的方程为:(x-2)2+(y−
5
2
)
2
=(
5
2
)
2

综上:当a=0时,相对应的圆的方程为:(x-4)2+(y−
17
2
)
2
=(
17
2
)
2
;当a=1时,相对应的圆的方程为:(x-2)2+(y−
5
2
)
2
=(
5
2
)
2

答案解析:分两种情况:(1)B点刚好为圆与x轴相切的切点,所以B在x轴上得到a=0,因为直线AB的中垂线与x=4的交点为圆心,
所以先求出中垂线方程,方法是利用中点坐标公式求出A与B的中点坐标,根据两直线垂直时斜率乘积为-1求出斜率,然后与x=4联立可得圆心坐标,圆心的纵坐标为半径,得到相应圆的方程;(2)AB与x轴平行时即得到a=1,圆与x轴相切,得到AB的中垂线方程为x=2,设出圆心坐标,根据圆心到A的距离等于圆心的纵坐标求出圆心坐标,而圆的半径为圆心的纵坐标,得到圆的方程.
考试点:圆的标准方程.
知识点:此题是一道综合题,要求学生会根据两点坐标求其中垂线方程,利用运用圆的性质定理,会根据圆心和半径写出圆的标准方程.