已知过点A(0,1),B(4,a)且与x轴相切的圆只有一个,求a的值及所对应的圆的方程.

问题描述:

已知过点A(0,1),B(4,a)且与x轴相切的圆只有一个,求a的值及所对应的圆的方程.

分两种情况考虑:
(i)设圆心坐标为(x,y),当B点为切点时,B在x轴上,所以a=0.则B(4,0),所以AB的中点坐标为(2,

1
2
),直线AB的斜率为
1−0
0−4
=-
1
4
,则AB中垂线的斜率为4,所以AB中垂线的方程为y-
1
2
=4(x-2)与x=4联立解得x=4,y=
17
2
,所以圆的方程为:(x-4)2+(y−
17
2
)
2
=(
17
2
)
2

(ii)当a=1时,AB与x轴平行,则AB的中垂线方程为x=2,设圆心坐标为(2,y),根据勾股定理得:y2=22+(y-1)2,解得y=
5
2
,所以圆的方程为:(x-2)2+(y−
5
2
)
2
=(
5
2
)
2

综上:当a=0时,相对应的圆的方程为:(x-4)2+(y−
17
2
)
2
=(
17
2
)
2
;当a=1时,相对应的圆的方程为:(x-2)2+(y−
5
2
)
2
=(
5
2
)
2