一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是323π，那么这个球的半径是______，三棱柱的体积是______．
问题描述：
一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是
π，那么这个球的半径是______，三棱柱的体积是______． 32 3
答
设球半径为R，则
由球的体积公式，得
πR3=4 3
π，解之得R=2．32 3
∵球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，
∴正三棱柱的高h=2R=4．
设正三棱柱的底面边长为a，可得其内切圆的半径为
r=
×1 3
a=2，解之得a=4
3
2
．
3
从而得出该正三棱柱的体积为
V=S底•h=
×a×asin60°×h=1 2
•（4
3
4
）2×4=48
3
3
故答案为：2，48
3
答案解析：由球的体积公式算出半径R=2，结合题意得出正三棱柱的高h=2R=4．由球与正三棱柱的三个侧面相切，得球的半径和底面正三角形边长的关系，算出出边长a=4
，进而可得该三棱柱的体积．
3
考试点：球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．
知识点：本题给出与正三棱柱各个侧面都相切的球，在已知球体积的情况下求三棱柱的体积．着重考查了正三棱柱的性质、球的体积公式和正三角形的内切圆等知识，属于中档题．