锐角三角形△ABC的外心为O，外接圆半径为R，延长AO，BO，CO，分别与对边BC，CA，AB交于D，E，F；证明：1AD+1BE+1CF＝2R．
问题描述：
锐角三角形△ABC的外心为O，外接圆半径为R，延长AO，BO，CO，分别与对边BC，CA，AB交于D，E，F；证明：
+1 AD
+1 BE
＝1 CF
．2 R 
答
知识点：本题考查了面积以及等积变换．解答本题时，通过作辅助线AM，将AD、OD、CO、CF、BO、BE的长度与半径R联系在一起，从而通过化简
+
+
＝1，证得结论
+
+
＝
．
证明：延长AD交⊙O于M，由于AD，BE，CF共点O，
＝OD AD
，S△OBC S△ABC
＝OE BE
，S△OAC S△BAC
＝OF CF
，…5’S△OAB S△CAB
则
+OD AD
+OE BE
＝1…①…10’OF CF
而
＝OD AD
＝1−R−DM 2R−DM
＝1−R 2R−DM
，…15’R AD
同理有，
＝1−OE BE
， R BE
＝1−OF CF
，…20’R CF
代入①得，(1−
)+(1−R AD
)+(1−R BE
)＝1…②R CF
所以
+1 AD
+1 BE
＝1 CF
． …25’2 R
答案解析：延长AD交⊙O于M，由于AD，BE，CF共点O．根据S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO、
＝OD AD
，S△OBC S△ABC
＝OE BE
，S△OAC S△BAC
＝OF CF
可以推知S△OAB S△CAB
+OD AD
+OE BE
＝1①；然后由OD=R-DM、AM=2R求得OF CF
=1-OD AD
；同理R AD
＝1−OE BE
，R BE
＝1−OF CF
；最后将其代入①式求得R CF
+1 AD
+1 BE
＝1 CF
．2 R
考试点：面积及等积变换．
知识点：本题考查了面积以及等积变换．解答本题时，通过作辅助线AM，将AD、OD、CO、CF、BO、BE的长度与半径R联系在一起，从而通过化简
| OD |
| AD |
| OE |
| BE |
| OF |
| CF |
| 1 |
| AD |
| 1 |
| BE |
| 1 |
| CF |
| 2 |
| R |