空间四边形ABCD中,E,F分别为对角线AC,BD的中点,且AB=BC=CD=DA=AC=BD.求证：(1)EF垂直于AC,(2)AC垂直于BD
问题描述：
空间四边形ABCD中,E,F分别为对角线AC,BD的中点,且AB=BC=CD=DA=AC=BD.求证：(1)EF垂直于AC,(2)AC垂直于BD
答
由已知得，A-BCD为正四面体
易知 ⊿ABD≌⊿CBD
又 F为BD的中点
∴ AF=CF 又∵E为AC中点
∴ EF⊥AC
（2）由AB=DA F为BD的中点知
AF⊥BD 同理可得 CF⊥BD
∴ BD⊥面ACF
又 AC为面ACF一直线
∴ BD⊥AC
答
(1)连接AF与CF
∵△ABD与△BCD都是等边三角形,边长相等,F是BD的中点
∴AF=CF
∴△AFC是等腰三角形
∵E是AC的中点
∴EF⊥AC
（2）∵△ABD与△BCD都是等边三角形,F是BD的中点
∴BD⊥CF,BD⊥AF,
而AF、FC、AC共面
∴BD⊥平面AFC
∴BD⊥AC