在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2B+cosB=0．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若b=7，a+c=5，求△ABC的面积．
问题描述：
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2B+cosB=0．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若b=
，a+c=5，求△ABC的面积．
7
答
（Ⅰ）在△ABC中，由已知cos2B+cosB=0得 2cos2B+cosB-1=0，…（2分）
解得 cosB=
，或cosB=-1（舍去）． …（4分）1 2
所以，B=
． …（6分）π 3
（Ⅱ）由余弦定理得 b2=a2+c2-2ac•cosB． …（8分）
将B=
，b=π 3
代入上式，整理得 （a+c）2-3ac=7．
7
因为 a+c=5，所以，ac=6． …（11分）
所以△ABC的面积 S=
ac•sinB=1 2
． …（13分）3
3
2
答案解析：（Ⅰ）在△ABC中，由已知cos2B+cosB=0得 2cos2B+cosB-1=0，解得 cosB的值，可得B的值．
（Ⅱ）解：将B=
，b=π 3
代入余弦定理，整理得 （a+c）2-3ac=7．由a+c=5求得ac=6，从而求得△ABC的面积S=
7
ac•sinB 的值．1 2
考试点：余弦定理；二倍角的余弦．
知识点：本题主要考查二倍角公式、余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．