已知函数f(x)满足:f(1)=14,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),则f(2015)=______.

问题描述:

已知函数f(x)满足:f(1)=

1
4
,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),则f(2015)=______.

令x=y=0,则4f2(0)=f(0)+f(0),即f(0)=0或f(0)=12,若f(0)=0,则令y=0,有4f(x)f(0)=2f(x),即f(x)=0,这与f(1)>0矛盾,∴f(0)=12,∵f(1)=14,令x=y=1,则4f2(1)=f(2)+f(0),∴f...
答案解析:运用赋值法,令y=1,根据条件得到f(x)=f(x+1)+f(x-1),将x换为x+1,再把x换为x+1,得到f(x+3)=-f(x),把x换为x+3,得到f(x+6)=f(x),从而f(x)的周期为6,f(2015)=f(5);根据条件再令x=y=0,求出f(0),令x=y=1,求出f(2),令x=2,y=1,求出f(3),令x=y=2,求出f(4),令x=4,y=1求出f(5)即可.
考试点:抽象函数及其应用.
知识点:本题主要考查函数的周期性和运用,考查解决抽象函数的常用方法:赋值法,注意充分运用条件,恰当赋值和赋式的运用.