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过椭圆x216+y24＝1上一点P作圆x2+y2=2的两条切线，切点为A，B，过A，B的直线与两坐标轴的交点为M，N，则△MON的面积的最小值为（　　）A. 32B. 23C. 12D. 2

分类: 作业答案 • 2022-07-24 08:58:44
问题描述：

过椭圆

x2
16
+
y2
4
＝1上一点P作圆x2+y2=2的两条切线，切点为A，B，过A，B的直线与两坐标轴的交点为M，N，则△MON的面积的最小值为（　　）
A.
3
2

B.
2
3

C.
1
2

D. 2

答

设A（x1，y1），B（x2，y2）
则PA、PB的方程分别为x1x+y1y=2，x2x+y2y=2，
而PA、PB交于P（x0，y0）
即x1x0+y1y0=2，x2x0+y2y0=2，
∴AB的直线方程为：x0x+y0y=2
∴M（

2
x0
，0），N（0，
2
y0
）
∴S△MON=
1
2
|OM|•|ON|=|
2
x0y0
|
∵|x0y0|=8|
x0
4
•
y0
2
|≤4（
x02
16
+
y02
4
）=4
∴S△MON≥
1
2

当且仅当
x0
4
＝
y0
2
时，△MON的面积的最小值为
1
2

故选C．
答案解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），则PA、PB的方程分别为x1x+y1y=2，x2x+y2y=2，而PA、PB交于P（x0，y0），由此能求出AB的直线方程，从而可得三角形的面积，利用基本不等式可求最值．
考试点：圆与圆锥曲线的综合．
知识点：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系的综合运用，考查基本不等式的运用，属于中档题．

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