已知函数f(x)＝2sin(πx6+π3)(0≤x≤5)，点A、B分别是函数y=f（x）图象上的最高点和最低点．（1）求点A、B的坐标以及OA•OB的值；（2）设点A、B分别在角α、β的终边上，求tan（α-2β）的值．
已知函数f(x)＝2sin(
+πx 6
)(0≤x≤5)，点A、B分别是函数y=f（x）图象上的最高点和最低点．π 3
（1）求点A、B的坐标以及
•OA
的值；OB
（2）设点A、B分别在角α、β的终边上，求tan（α-2β）的值．
（1）∵0≤x≤5，∴
≤π 3
+πx 6
≤π 3
，…（1分）7π 6
∴−
≤sin(1 2
+πx 6
)≤1． …（2分）π 3
当
+πx 6
＝π 3
，即x=1时，sin(π 2
+πx 6
)＝1，f（x）取得最大值2；π 3
当
+πx 6
＝π 3
，即x=5时，sin(7π 6
+πx 6
)＝−π 3
，f（x）取得最小值-1．1 2
因此，点A、B的坐标分别是A（1，2）、B（5，-1）． …（4分）
∴
•OA
＝1×5+2×(−1)＝3． …（6分）OB
（2）∵点A（1，2）、B（5，-1）分别在角α、β的终边上，
∴tanα=2，tanβ＝−
，…（8分）1 5
∵tan2β＝
＝−2×(−
)1 5 1−(−
)2
1 5
，…（10分）5 12
∴tan(α−2β)＝
＝2−(−
)5 12 1+2•(−
)5 12
． …（12分）29 2
答案解析：（1）根据x的范围以及正弦函数的定义域和值域，求得−
≤sin(1 2
+πx 6
)≤1，由此求得图象上的最高顶、最低点的坐标及π 3
•OA
的值．OB
（2）由点A（1，2）、B（5，-1）分别在角α、β的终边上，求得tanα、tanβ的值，从而利用二倍角公式求得tan2β的值，再利用两角和的正切公式求得tan（α-2β）的值．
考试点：两角和与差的正切函数；平面向量数量积的运算．
知识点：本小题主要考查了三角函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）的图象与性质，三角恒等变换，以及平面向量的数量积等基础知识，
考查了简单的数学运算能力，属于中档题．