已知f（x）连续，∫x0tf(x−t)dt＝1−cosx，求∫π20f(x)dx的值．
问题描述：
已知f（x）连续，
tf(x−t)dt＝1−cosx，求
∫
x
0
f(x)dx的值．
∫
π 2 0
答
解； 令u=x-t，则当t=0时，u=x；t=x时，u=0；且du=-dt
因此
tf(x−t)dt＝−
∫
x
0
(x−u)f(u)du＝
∫
0
x
(x−u)f(u)du
∫
x
0
=x
f(u)du−
∫
x
0
uf(u)du＝1−cosx
∫
x
0
∴x
f(u)du−
∫
x
0
uf(u)du＝1−cosx两端对x求导得：
∫
x
0
f(u)du+xf(x)−xf(x)＝sinx
∫
x
0
即：
f(u)du＝sinx
∫
x
0
在上式中，令x＝
，便得π 2
f(x)dx=sin
∫
π 2 0
＝1π 2
答案解析：由已知条件
tf(x−t)dt＝1−cosx，要求
∫
x
0
f(x)dx的值，往往是要求出被积函数f（x）的表达式．而要求出被积函数的表达式，需要
∫
π 2 0
tf(x−t)dt＝1−cosx两边对x求导，但由于被积函数里有f（x-t），因此必需先换元．
∫
x
0
考试点：积分上限函数及其求导．
知识点：此题在求解到最后发现，并不一定要把f（x）的表达式求出来，只需在求出f（x）的变上限积分中令积分上限x=
就可以得出结果．所以，在做题过程中，要依据所碰到的具体问题，找到最简单的求解方法．π 2