如图,在△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O与AC交于点D,过D作DF⊥BC,交AB的延长线于E,垂足为F.(1)求证:直线DE是⊙O的切线;(2)当AB=5,AC=8时,求cos∠E的值.

问题描述:

如图,在△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O与AC交于点D,过D作DF⊥BC,交AB的延长线于E,垂足为F.
(1)求证:直线DE是⊙O的切线;
(2)当AB=5,AC=8时,求cos∠E的值.

(1)证明:如图,连接OD,BD(1分)
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=∠90°,
∴BD⊥AC;(2分)
∵AB=BC,
∴AD=DC;(3分)
∵OA=OB,
∴OD∥BC,(5分)
∵DE⊥BC,
∴DE⊥OD.
∴直线DE是⊙O的切线.
(2)作DH⊥AB,垂足为H,则∠EDH+∠E=90°,
又DE⊥OD,
∴∠ODH+∠EDH=90°.
∴∠E=∠ODH.
∵AD=DC,AC=8,
∴AD=4.
在Rt△ADB中,BD=

AB2AD2
=3,
由三角形面积公式得:AB•DH=DA•DB.
即5•DH=3×4,DH=
12
5

在Rt△ODH中,cos∠ODH=
DH
OD
=
24
25

∴cos∠E=
24
25

答案解析:(1)连接圆心和切点,利用平行,OF⊥CB可证得∠ODF=90°;
(2)把∠E在相应的直角三角形中进行转移,求出其邻边与斜边即可.
考试点:切线的判定;圆周角定理.
知识点:当题中已有垂直时,证直线为圆的切线,通常选用平行来进行证明;而求相关角的余弦值,应根据所给条件进行适当转移,注意利用直角三角形面积的不同方式求解.