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已知正数a，b，c满足a+b=ab，a+b+c=abc，则c的取值范围是______．

分类: 作业答案 • 2022-07-22 20:55:58
问题描述：

已知正数a，b，c满足a+b=ab，a+b+c=abc，则c的取值范围是______．

答

∵正数a，b，c满足a+b=ab，∴ab≥2

 ab
，化为
 ab
(
 ab
−2)≥0，
∴
 ab
≥2，∴ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号，∴ab∈[4，+∞）．
∵a+b+c=abc，∴ab+c=abc，∴c=
ab
ab−1
=
ab−1+1
ab−1
＝1+
1
ab−1
．
∵ab≥4，∴1＜1+
1
ab−1
≤
4
3
，∴1＜1+
1
ab−1
≤
4
3
．
∴c的取值范围是(1，
4
3
]．
故答案为(1，
4
3
]．
答案解析：由正数a，b，c满足a+b=ab，利用基本不等式即可得出ab≥4．由a+b+c=abc，变形为c＝1+
1
ab−1
即可得出．
考试点：基本不等式．

知识点：恰当变形利用基本不等式的性质和不等式的基本性质是解题的关键．

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