如图,在矩形ABCD中,AB=33,BC=3,沿对角线BD将BCD折起,使点C移到点C′,且C′在平面ABD的射影O恰好在AB上(1)求证:BC′⊥面ADC′;(2)求二面角A-BC′-D的正弦值.

问题描述:

如图,在矩形ABCD中,AB=3

3
,BC=3,沿对角线BD将BCD折起,使点C移到点C′,且C′在平面ABD的射影O恰好在AB上

(1)求证:BC′⊥面ADC′;
(2)求二面角A-BC′-D的正弦值.

(1)由题意可得,C′O⊥平面ABD,
∵DA⊂平面ABD,
∴C′O⊥DA,
由题意可知,∠DAB=90°,即DA⊥AB,且C′O∩AB=O,
∴DA⊥平面C′AB,又BC′⊂平面C′AB,
∴BC′⊥DA,
又∠BC′D=∠BCD=90°,即BC′⊥C′D,且C′D∩DA=D,
∴BC′⊥平面ADC′;
(2)根据(1)可知,BC′⊥平面ADC′,
∵AC′⊂平面ADC′,DC′⊂平面ADC′,
∴BC′⊥AC′,BC′⊥DC′,
∴∠AC′D即为二面角A-BC′-D的平面角,
又由(1)知,DA⊥平面C′AB,
∵AC′⊂平面C′AB,
∴DA⊥AC′,即△DAC′为直角三角形,
在直角三角形DAC′中,DA=BC=3,DC′=DC=AB=3

3

∴sin∠AC′D=
DA
DC′
=
3
3
3
=
3
3

故二面角A-BC′-D的正弦值为
3
3

答案解析:(1)根据已知的线面垂直,可以得到DA⊥C′O,再根据DA⊥AB,即可证明DA⊥面C′AB,从而证得BC′⊥DA,利用直线与平面垂直的判定定理,即可证得BC′⊥面ADC′;
(2)根据(1)的结论,结合二面角的平面角的定义,即可确定∠AC′D即为二面角A-BC′-D的平面角,在直角三角形DAC′中,即可求得二面角A-BC′-D的正弦值.
考试点:二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定.
知识点:本题考查线面关系,直线与平面垂直的判定定理以及二面角的求解等基础知识,考查思维能力、空间想象能力,求解二面角的问题,关键在于如何正确的找到二面角的平面角.属于中档题.