如图，给出定点A（a，0）（a＞0，a≠1）和直线l：x=-1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C．求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系．
问题描述：
如图，给出定点A（a，0）（a＞0，a≠1）和直线l：x=-1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C．求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系．
答
依题意，记B（-1，b）（b∈R），则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=-bx．
设点C（x，y），
则有0≤x＜a，由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等．
根据点到直线的距离公式得|y|＝
.①|y+bx|
1+b2
依题设，点C在直线AB上，故有y＝−
(x−a).b 1+a
由x-a≠0，得b＝−
.②(1+a)y x−a
将②式代入①式得y2[1+
]＝[y−
(1+a)2y2
(x−a)2
]2，(1+a)xy x−a
整理得y2[（1-a）x2-2ax+（1+a）y2]=0．
若y≠0，则（1-a）x2-2ax+（1+a）y2=0（0＜x＜a）；
若y=0，则b=0，∠AOB=π，点C的坐标为（0，0），满足上式．
综上得点C的轨迹方程为（1-a）x2-2ax+（1+a）y2=0（0≤x＜a）
因为a≠0，所以
+(x−
)2a 1−a (
)2a 1−a
＝1(0≤x＜a).y2
a2 1−a
由此知，当0＜a＜1时，方程③表示椭圆弧段；
当a＞1时，方程③表示双曲线一支的弧段；