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是f(x)=a^2inx-x^2+ax,a>0,(2)求所有的实数a,使e-1≤f(x)≤e^2对x∈【1,e】恒成立

分类: 作业答案 • 2022-07-18 16:20:41

问题描述：

是f(x)=a^2inx-x^2+ax,a>0,(2)求所有的实数a,使e-1≤f(x)≤e^2对x∈【1,e】恒成立

答

f(x)=a^2inx-x^2+ax,a>0
f'(x)=a^2/x-2x+a=(-2x^2+ax-a^2)/x
=-(2x^2-ax+a^2)/x^2
=-[2(x-a/4)^2+7a^2/8]/x
∵x∈[1,e]∴f'(x)-2e≤a≤e
∴a=e
符合条件的a值只有唯一的1个值e-[2(x-a/4)^2+7a^2/8]/x这步老师是怎么想到的呢？我的解法是f'(x)=(-x+a)(2x+a)/x即y=(-x+a)（2x+a) a>0 所以x=a成立然后就是讨论a的取值范围，很烦。我这样的想法正确吗？我算错了，应该是f'(x)=a^2/x-2x+a=(-2x^2+ax+a^2)/x=-(2x^2-ax-a^2)/x^2 =-（2x+a)(x-a)/x 下面要讨论01∵5e^2+4e-4-(e+2)^2=4e^2-8=4(e^2-2)>0∴√(5e^2+4e-4)>e+2∴[-e+√(5e^2+4e-4)]/2>1∴此时，无解当1 0,f(x)递增，aa^2(lna-1)≤e^2恒成立{f(1)=a-1≥e-1===> a≥e{f(e)=a^2-e^2+ae≥e-1 ==>a≥[-e+√(5e^2+4e-4)]/2==>e≤a≤e^2又1 -2e≤a≤e∵a≥e∴a=e综上 a=e嗯，我用的就是这种方法，我讨论的是a在(0，1)和(1，e)的取值，但是这样很烦啊，我和班上同学的答案都不统一。最好将定义域闭区间的端点留给两边，好叙述。我算的答案还是有问题，明天去学校看下正确的答案吧。