证：存在唯一的函数f(x,y),x,y是正整数,使得对任意x,y都有f(x,x)=x,f(x,y)=f(y,x),(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y)
问题描述：
证：存在唯一的函数f(x,y),x,y是正整数,使得对任意x,y都有f(x,x)=x,f(x,y)=f(y,x),(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y)
答
由(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y)知:
(y-x)*f(x,y)=y*f(x,y-x)
由于x,y是正整数,x=y时,f(x,y)=x;不妨设x=1,x>y1>=1,可进一步证明
y1*f(x,y)=(y-a1*x)*f(x,y)=y*f(x,y-a1*x)
=y*f(x,y1)
x*f(x,ax)=ax*f(x,x)=a*x^2,所以f(x,ax)=ax
猜想 f(x,y)等于x和y的最小公倍数
(又由f(x,y)=f(y,x),知y1*f(x,y)=y*f(x,y1)=y*f(y1,x)
又可设x=a2*y1+x1,其中a2,x1为整数,且a2>=1,x>x1>=1
可得 x1*f(y1,x)=x*f(y1,x1)
依次类推,可得
y1*x1*...*f(x,y)=y*x*y1*x1*...*f(1,1))