X是赋范空间,X的单位球面,S={x: ||x||=1}为完备度量空间推出X为BANACH空间?求证.

分类: 作业答案 • 2022-07-17 20:06:16

问题描述：

X是赋范空间,X的单位球面,S={x: ||x||=1}为完备度量空间推出X为BANACH空间?
求证.

答

只有证X有完备性.设fi为X空间柯西列,{||fi||}必为有界列,可取{||fi||}收敛的子列,设收敛于数a,下面只对该子列讨论.fi/||fi||为S上的点列,有收敛子列.记为gi,收敛于G.则考虑{(fi/||fi||)-G}收敛于0.由{||fi||}有界,{f...

X是赋范空间,X的单位球面,S={x: ||x||=1}为完备度量空间 推出X为BANACH空间?求证.