如图所示,一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO′转动,同内壁粗糙,筒口半径和筒高分别为R和H,筒内壁A点的高度为筒高的一半,内壁上有一质量为m的小物块,求:①当筒不转动时,物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小;②当物块在A点随筒做匀速转动,且其所受到的摩擦力为零时,筒转动的角速度.
如图所示,一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO′转动,同内壁粗糙,筒口半径和筒高分别为R和H,筒内壁A点的高度为筒高的一半,内壁上有一质量为m的小物块,求:
①当筒不转动时,物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小;
②当物块在A点随筒做匀速转动,且其所受到的摩擦力为零时,筒转动的角速度.
(1)设圆锥母线与水平方向的夹角为θ.当筒不转动时,物块静止在筒壁A点时受到的重力、摩擦力和支持力三力作用而平衡,
由平衡条件得
摩擦力的大小:f=mgsinθ=
mgH
H2+R2
支持力的大小:N=mgcosθ=
;mgR
H2+R2
(2)当物块在A点随筒做匀速转动,且其所受到的摩擦力为零时,物块在筒壁A点时受到的重力和支持力作用,它们的合力提供向心力,设筒转动的角速度为ω有
mgtanθ=mω2
R 2
由几何关系得 tanθ=
联立解得ω=H R
2gH
R
答:(1)当筒不转动时,物块静止在筒壁A点受到的摩擦力为
,mgH
H2+R2
支持力的大小为
;mgR
H2+R2
(2)当物块在A点随筒做匀速转动,且其受到的摩擦力为零时,筒转动的角速度为
.
2gH
R
答案解析:(1)当筒不转动时,物块受到重力、筒壁A的摩擦力和支持力作用,根据平衡条件求解.角度由数学知识求出.
(2)当物块在A点随筒做匀速转动,且其受到的摩擦力为零时,由重力和支持力的合力提供物块的向心力,由牛顿第二定律求解.
考试点:牛顿第二定律;力的合成与分解的运用;共点力平衡的条件及其应用;向心力.
知识点:本题是圆锥摆类型.关于向心力应用的基本方程是:指向圆心的合力等于向心力,其实是牛顿第二定律的特例.