沙漏定律数学题
沙漏定律数学题
沙漏定理就是初中要学的相似三角形
解;如图①
设长方形ABCD的长AD=3k,宽CD=2k.
由3k×2k=6
得k=1.
则AE=3/2,CG=3/3=1.
由长方形得
AC=√[(3)²+(2)²]
=√13.
且AE∥CG.
有
∠EAI=∠GCH,
又
∠CHG=∠AHE,
∴△CHG∽△AHE.
相似比为:
CG/AE=1/(3/2)=2/3.
由CH/AH=2/3,
得CH/(CH+AH)=2/(2+3)=2/5.
即
CH/AC=2/5.
∴CH=2AC/5=2√13/5.
同理
CI=3AC/5=3√13/5.
过点H、I分别向BC引垂线,垂足各为J、K.如下图。
则sin∠BCA=AB/AC=2/(√13)=2√13/13.
由JH/CH=sin∠BCA
得JH=CH×sin∠BCA=(2√13/5)×(2√13/13)=4/5.
S△CGH=CG×HJ/2=1×4/5=4/5.
同理
由KI/CI=sin∠BCA
得KI=CI×sin∠BCA=(3√13/5)×(2√13/13)=6/5.
S△CIF=CF×KI/2=(2×6/5)/2=6/5.
四边形FGHID的面积=S△CIF-S△CGH=(6/5)-(4/5)=2/5.
又S△EFG=FG×AB/2=1×2/2=1.
∴阴影部分的面积=S△EFG-四边形FGHID的面积
=1-2/5
=3/5.
恰为长方形面积的十分之一.
对角线上的点按顺序标上 A,B,C,D,上面中点为M
AB / BD = 2:3,====AB = 2AD/5
AC :CD = 3:2 === CD = 2AD/5
BC = AD/5 ===== S(GBC) = S(AGD)/5 = S矩形 / 20 = 0.6