某商场试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于45%,经试销发现,销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y=kx+b,且x=65时,y=55;x=75时,y=45.(1)求一次函数y=kx+b的表达式;(2)若该商场获得利润为W元,试写出利润W与销售单价x之间的关系式;销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元?(3)若该商场获得利润不低于500元,试确定销售单价x的范围.

问题描述:

某商场试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于45%,经试销发现,销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y=kx+b,且x=65时,y=55;x=75时,y=45.
(1)求一次函数y=kx+b的表达式;
(2)若该商场获得利润为W元,试写出利润W与销售单价x之间的关系式;销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元?
(3)若该商场获得利润不低于500元,试确定销售单价x的范围.

(1)根据题意得

65k+b=55
75k+b=45

解得k=-1,b=120.
所求一次函数的表达式为y=-x+120.(2分)
(2)W=(x-60)•(-x+120)
=-x2+180x-7200
=-(x-90)2+900,(4分)
∵抛物线的开口向下,
∴当x<90时,W随x的增大而增大,
而销售单价不低于成本单价,且获利不得高于45%,
即60≤x≤60×(1+45%),
∴60≤x≤87,
∴当x=87时,W=-(87-90)2+900=891.
∴当销售单价定为87元时,商场可获得最大利润,最大利润是891元.(6分)
(3)由W≥500,得500≤-x2+180x-7200,
整理得,x2-180x+7700≤0,
而方程x2-180x+7700=0的解为 x1=70,x2=110.(7分)
即x1=70,x2=110时利润为500元,而函数y=-x2+180x-7200的开口向下,所以要使该商场获得利润不低于500元,销售单价应在70元到110元之间,
而60元/件≤x≤87元/件,所以,销售单价x的范围是70元/件≤x≤87元/件.(10分)
答案解析:(1)列出二元一次方程组解出k与b的值可求出一次函数的表达式.
(2)依题意求出W与x的函数表达式可推出当x=87时商场可获得最大利润.
(3)由w=500推出x2-180x+7700=0解出x的值即可.
考试点:二次函数的应用.
知识点:求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法.利用二次函数解决实际问题.