在直角坐标系中,直线L1的解析式为y=2x-1,直线L2过原点且L2与直线L1交于点P(-2,a).(1)试求a的值;(2)试问(-2,a)可以看作是怎样的二元一次方程组的解;(3)设直线L1与x轴交于点A,你能求出△APO的面积吗?试试看;(4)在直线L1上是否存在点M,使点M到x轴和y轴的距离相等?若存在,求出点M的坐标;不存在,说明理由.

问题描述:

在直角坐标系中,直线L1的解析式为y=2x-1,直线L2过原点且L2与直线L1交于点P(-2,a).

(1)试求a的值;
(2)试问(-2,a)可以看作是怎样的二元一次方程组的解;
(3)设直线L1与x轴交于点A,你能求出△APO的面积吗?试试看;
(4)在直线L1上是否存在点M,使点M到x轴和y轴的距离相等?若存在,求出点M的坐标;不存在,说明理由.

(1)把(-2,a)代入y=2x-1,得:-4-1=a,
解得a=-5.
(2)由(1)知:点P(-2,-5);
则直线L2的解析式是y=

5
2
x;
因此(-2,a)可以看作二元一次方程组
y=2x−1
y=
5
2
x
的解.
(3)直线L1与x轴交于点A(
1
2
,0),
所以S△APO=
1
2
×
1
2
×5=
5
4

(4)存在点M,使得点M到x轴和y轴的距离相等.
设点M的坐标为(a,b);
①当a=b时,点M的坐标为(a,a);代入y=2x-1得:2a-1=a,a=1;即点M的坐标为(1,1);
②当a=-b时,点M的坐标为(a,-a);代入y=2x-1得:2a-1=-a,a=
1
3
;即点M的坐标为(
1
3
,-
1
3
).
综上所述,存在符合条件的点M坐标为(1,1)或(
1
3
,-
1
3
).
答案解析:(1)由于P是两个函数的交点,因此可将P点坐标代入直线L1的解析式中,求出a的值.
(2)由于直线L2过原点,因此一次函数L2是个正比例函数,根据P点坐标,可确定其解析式.联立两个直线解析式所组成的方程组的解,即为两个函数图象的交点坐标.
(3)根据直线L1的解析式,可求出A点坐标;以OA为底,P点纵坐标绝对值为高,可求出△OAP的面积.
(4)若点M到x轴、y轴的距离相等,那么点M的坐标有两种情况:
①横坐标与纵坐标相等;②横坐标与纵坐标互为相反数;因此本题要分情况讨论.
考试点:一次函数与二元一次方程(组).
知识点:本题是一个开放性问题,综合考查了函数图象交点、图形面积求法等知识.解答(4)题时需注意,由于点M的坐标存在两种情况,因此要分类讨论,以免漏解.