证明群中只有一个幂等元
问题描述：
证明群中只有一个幂等元
答
楼上两位都是答非所问。
风痕说的是有限半群中幂等元一定存在。没有证明唯一。
sal说的是在环中幂等元唯一。而群中没有减法。
a^2=a则a^2*a^-1=a*a^-1则a=e
答
幂等元：x*x=x
所以x*(x-1)=0
x不等于0,否则x没有逆元
所以x-1=0
否则x不为0,x-1不为0
x有逆元x^(-1),(x-1)有逆元(x-1)^(-1)
0=x*(x-1)*(x-1)^(-1)*x^(-1)=x*1*x^(-1)=1矛盾
所以只有唯一的幂等元x=1