f(x)为定义在R上的增函数,证明a+b≥0与f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)可以互相推导.
问题描述：
f(x)为定义在R上的增函数,证明a+b≥0与f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)可以互相推导.
答
条件是a+b≥0
由a+b≥0知a≥-b 和b≥-a
f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)移项得
f(a)-f(-b)≥f(-a)-f(b)
因为a≥-b f(x)为定义在R上的增函数
所以f(a)-f(-b)≥0
f(-a)-f(b)≤0
所以f(a)-f(-b)≥f(-a)-f(b)
然后反过来
条件是f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)
f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)移项得
f(a)-f(-b)≥f(-a)-f(b)
这里用反证法
假设a+b那么a由f(x)为定义在R上的增函数
知f(a)-f(-b) f(-a)-f(b)>0
那么f(-a)-f(b)>f(a)-f(-b) 与f(a)-f(-b)≥f(-a)-f(b)矛盾
所以a+b≥0
答
(1)a+b≥0 →f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)
因为a+b≥0所以a≥-b,b≥-a
又因为f(x)在R上为单调增函数
所以f(a)≥f(-b) f(b)≥f(-a)
所以f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)
（2）f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)→a+b≥0
反证法,假设a+b