已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点,顶点为C.证明 （1）△ABC是直角三角形的充要条件是△=b平方-4ac=4（2）△ABC是等边三角形的充要条件是△=b平方-4ac=12
问题描述：
已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点,顶点为C.证明 （1）△ABC是直角三角形的充要条件是△=b平方-4ac=4
（2）△ABC是等边三角形的充要条件是△=b平方-4ac=12
答
(1). 设A(x1,0),B(x2,0),C(-b/2a,-Δ/4ac)
CA=(x1+b/2a,Δ/4ac)
CB=(x2+b/2a,Δ/4ac)
CA·CB=x1x2+(b/2a)(x1+x2)+(b/2a)^2+(Δ/4ac)
=c/a+(b/2a)(-b/a)+(b/2a)^2+(Δ/4ac)
=-Δ/(4a^2)+Δ^2/(16a^2)=0
所以-4Δ+Δ^2=0
解得 Δ=4,0(舍)
(2). 因为ΔABC已经是等腰三角形
所以 需且仅需令 底:高=2: sqr(3)……注：sqr(x)表示 根号下x
即|-2Δ/4a|=sqr(3)|x1-x2|
平方得：Δ^2/(2a)^2=3(x1-x2)^2=3[(x1+x2)^2-4x1x2]=3Δ/(a^2)
得到：12Δ=Δ^2
解得Δ=12,0(舍)