如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,D为斜边BC中点,DE⊥DF,求证:EF2=BE2+CF2.

问题描述:

如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,D为斜边BC中点,DE⊥DF,求证:EF2=BE2+CF2
作业帮

作业帮证明:延长ED到G,使DG=DE,连接EF、FG、CG,如图所示:
在△EDF和△GDF中

DF=DF
∠EDF=∠FDG=90°
DG=DE

∴△EDF≌△GDF(SAS),
∴EF=FG
又∵D为斜边BC中点
∴BD=DC
在△BDE和△CDG中
BD=DC
∠BDE=∠CDG
 

∴△BDE≌△CDG(SAS)
∴BE=CG,∠B=∠BCG
∴AB∥CG
∴∠GCA=180°-∠A=180°-90°=90°
在Rt△FCG中,由勾股定理得:
FG2=CF2+CG2=CF2+BE2
∴EF2=FG2=BE2+CF2
答案解析:延长ED到G,使DG=DE,连接EF、FG、CG,由于DF=DF,∠EDF=∠FDG=90°,DG=DE,可得出△EDF≌△GDF,所以EF=FG,同理证出BE=CG,所以要证明EF2=BE2+CF2,只需证明FG2=FC2+CG2即可.
考试点:勾股定理;全等三角形的判定与性质.
知识点:本题考查勾股定理的应用,关键在于找出相应的直角三角形,两直角边的平方和等于斜边的平方,证明过程中运用到全等三角形的判定和等价替换的方法.