如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,D为斜边BC中点,DE⊥DF,求证:EF2=BE2+CF2.
问题描述:
如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,D为斜边BC中点,DE⊥DF,求证:EF2=BE2+CF2.
答
证明:延长ED到G,使DG=DE,连接EF、FG、CG,如图所示:
在△EDF和△GDF中
,
DF=DF ∠EDF=∠FDG=90° DG=DE
∴△EDF≌△GDF(SAS),
∴EF=FG
又∵D为斜边BC中点
∴BD=DC
在△BDE和△CDG中
,
BD=DC ∠BDE=∠CDG
∴△BDE≌△CDG(SAS)
∴BE=CG,∠B=∠BCG
∴AB∥CG
∴∠GCA=180°-∠A=180°-90°=90°
在Rt△FCG中,由勾股定理得:
FG2=CF2+CG2=CF2+BE2
∴EF2=FG2=BE2+CF2.
答案解析:延长ED到G,使DG=DE,连接EF、FG、CG,由于DF=DF,∠EDF=∠FDG=90°,DG=DE,可得出△EDF≌△GDF,所以EF=FG,同理证出BE=CG,所以要证明EF2=BE2+CF2,只需证明FG2=FC2+CG2即可.
考试点:勾股定理;全等三角形的判定与性质.
知识点:本题考查勾股定理的应用,关键在于找出相应的直角三角形,两直角边的平方和等于斜边的平方,证明过程中运用到全等三角形的判定和等价替换的方法.