已知点A(1,0),B(3,2),动点P满足︱PB︱=根号2︱PA︱ 1.求动点P的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形?2 直线2X+y-1= 0与点P的轨迹交于两点A,B,求线段AB长?

问题描述:

已知点A(1,0),B(3,2),动点P满足︱PB︱=根号2︱PA︱ 1.求动点P的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形?
2 直线2X+y-1= 0与点P的轨迹交于两点A,B,求线段AB长?

第一个问题:
设点P的坐标为(x,y),则:
|PA|=√[(x-1)^2+y^2]、|PB|=√[(x-3)^2+(y-2)^2]。
依题意,有:|PA|=√2|PB|,∴|PA|^2=2|PB|^2,
∴(x-1)^2+y^2=2(x-3)^2+2(y-2)^2,
∴x^2-2x+1+y^2=2x^2-12x+18+2y^2-8y+8,
∴x^2-14x+y^2-8y+25=0,∴(x-7)^2+(y-4)^2=40。
∴动点P的轨迹方程是圆(x-7)^2+(y-4)^2=40。

第二个问题:
设圆(x-7)^2+(y-4)^2=40的圆心为C(7,4),令AB的中点为D,则:CD⊥AB。
由点到直线的距离公式,有:|CD|=|2×7-4-1|/√(4+1)=9/√5。
显然有:|AC|=√40。
∴由勾股定理,有:|AD|^2+|CD|^2=|AC|^2,
∴|AD|^2=40-81/5=119/5,∴|AD|=√(119/5)=√590/5,
∴|AB|=2|AD|=2√590/5。
∴线段AB的长是 2√590/5。

设点,表达方程,化解得:(x+1)^2+(y+2)^2=16
则图形为以(-1,-2)为圆心以4为半径的圆.
将直线画出,过圆心作已知直线的垂线,计算圆心到直线的距离为√5,再由勾股定理算得弦长为2√11